Séminaire OZP maternelle : Analyse des programmes de mathématiques et de la continuité des apprentissages entre la GS et le CP (Jacques Douaire)

Séminaire Maternelle OZP, 25 mai 2024

Analyse des programmes de mathématiques et de la continuité des apprentissages entre la GS et le CP
Intervention de Jacques Douaire enseignant-chercheur (retraité) en didactique des mathématiques (Équipe ERMEL)

Cette intervention propose des éléments d’analyse de connaissances numériques, évoquées pour certaines dans les projets de programme ou dans des programmes antérieurs, ainsi que sur la continuité des apprentissages entre la GS et le CP.
Elle s’appuie notamment sur les travaux de l’équipe ERMEL (dernier ouvrage paru « Ermel GS Apprentissages numériques et géométriques », Hatier 2023), dont les recherches ont été menées, pour chacune, durant plusieurs années dans de très nombreuses classes de différents milieux sociaux de plusieurs académies Pour ma part, ces expérimentations successives se sont déroulées principalement en ZEP.

Les enjeux des apprentissages numériques en GS

En mathématiques, les enjeux principaux pour la Grande Section, vont porter sur les apprentissages numériques. Ceux-ci prendront de l’ampleur au CP avec l’acquisition progressive de la numération écrite et de la technique opératoire de l’addition. Les difficultés dans ces deux domaines, rencontrées par certains élèves, peuvent ne se manifester que plusieurs années plus tard, si par exemple ceux-ci n’ont été confrontés qu’à des exercices où ils ne devaient qu’appliquer une méthode. Une autre source de nombreuses difficultés ultérieures réside dans l’apprentissage précoce d’une technique écrite avant que l’élève ne dispose des procédures mentales qui lui permettraient non seulement de la comprendre mais aussi d’en contrôler son usage.

Dès la GS, l’élève peut acquérir cette capacité à contrôler par lui-même ses résultats. De plus, lors des échanges en classe, et avec l’aide de l’enseignant, l’élève peut prendre conscience de ses procédures et les formuler. Cela est nécessaire non seulement pour les acquisitions numériques, mais aussi pour l’établissement d’un rapport personnel favorable de l’élève avec les mathématiques.

Mais les connaissances des élèves à l’entrée de la Grande Section sont très variées. La difficulté pour un enseignant, est donc non seulement de les identifier pour chacun de ses élèves, en particulier pour ceux pour lesquelles elles sont les plus faibles, mais surtout de pouvoir les faire évoluer, pour les faire passer, par exemple de la comparaison de deux collections par la mise en correspondance de leurs objets un à un, à des procédures où l’élève traite directement leur nombre d’éléments.

Une évolution des programmes

Les connaissances des élèves n’ont pas toujours été prises en compte dans les programmes successifs concernant les mathématiques à l’école maternelle. Ceux-ci ont fortement évolué depuis ceux de 1977, qui avaient introduit « les mathématiques modernes » (le mot « nombre » avait même disparu des programmes de maternelle), l’année même où cette approche était remise en question dans les programmes de 1977 du CP (elles avaient été introduites à l’école élémentaire par les instructions du 2/1/ 1970).
En maternelle, cette approche visait le développement de connaissances « pré-numériques » notamment au moyen d’activités de classement, de rangement ; ces activités apparaissaient alors comme préalable à la construction de la notion de nombre, les nombres eux-mêmes étant introduits seulement au cours du CP. Les connaissances que les élèves avaient des nombres, par des activités sociales ou ludiques, étaient considérées comme trop instables pour un même élève et variables d’un élève à l’autre pour être prises en considération. Ces programmes constituaient une rupture complète dans les contenus proposés auparavant où les nombres jusqu’à 50 étaient abordés en GS ainsi que certaines opérations.

Mais à partir de la fin des années 1970 et au cours des décennies suivantes, de nombreux travaux français - par exemple l’ouvrage « Décrire, agir, compter » de Claire Meljac publié en 1979 - ou internationaux de psychologie ou de didactique des mathématiques ont permis d’analyser les connaissances dont disposaient les élèves, issues notamment de leurs activités familières tant pour la désignation orale des nombres, que pour les procédures de quantification ou de comparaison de collections ou pour la résolution de problèmes additifs. Sur ce dernier point les travaux de Gérard Vergnaud notamment avaient déjà mis en évidence la proximité des procédures élaborées par les élèves, de fait dès la GS, pour la résolution d’une diversité de problèmes préalablement à l’apprentissage de techniques opératoires. Les instructions officielles destinées à l’école maternelle de 1986 ont marqué une rupture avec les contenus de ceux de 1977, notamment par la prise en compte de ces connaissances pour mes apprentissages numériques ; il y était d’ailleurs affirmé que « le but des activités scientifiques et techniques est toujours de poser et de résoudre un problème .

Une diversité de connaissances

En GS lorsque l’enfant cherche à connaître le nombre d’objets d’une collection ou à en comparer plusieurs, ou à déplacer un pion sur une piste en fonction du lancer d’un dé, ou simplement à identifier une information numérique (nom de nombre, chiffre, …), il utilise, selon son âge et son expérience, plusieurs types de connaissances dont certains élèves peuvent en être largement démunis. Ces connaissances peuvent être mobilisées dans des contextes proposés par l‘enseignant et nouveaux pour l’élève, ou liées à ses propres jeux ou aux sollicitations éventuelles de son environnement familial.

Prenons un exemple en Grande Section, dans le cours d’un jeu, pour déterminer la valeur de la somme lors d’un lancer de deux dés (« quatre » et « trois ») l’élève peut notamment :
–  recompter les points des deux dés, en utilisant éventuellement un support (doigts, piste numérique…) ;
–  identifier le nombre de points du premier dé et surcompter le nombre de points du second (« quatre, cinq six, sept ») ;
–  reconstruire le résultat à partir d’un résultat numérique déjà connu (« trois et trois six et un sept ») ou faire appel à la connaissance déjà mémorisée de ce résultat additif.
Le passage entre trois types de procédures, lié aussi de la taille des nombres en jeu, constitue, de fait, une évolution durant l’année de GS entre un appui sur des objets pour la première à un recours visé au calcul pour la troisième, mais pour des élèves son acquisition ne se fera qu’au CP.

Pour un même problème il peut donc y avoir au cours de la GS et encore au CP une variété de procédures de quantification, notamment :
–  la reconnaissance immédiate du nombre d’éléments des petites quantités ;
–  l’estimation - souvent imprécise- du nombre d’éléments de la collection ;
–  le dénombrement, le surcomptage et le décomptage ;
–  le calcul mental de la somme, de la différence ou de l’écart entre des nombres.
Chacune de ces procédures est donc associées à différents systèmes de représentation des quantités : des objets réels, ou figurés (des constellations, doigts…), la suite des noms de nombres, le recours à des écritures chiffrées ou à des résultats mémorisés…

Le développement de ces procédures suppose que les élèves aient des occasions de les mettre en œuvre, qu’ils en perçoivent d’abord l’utilité et en comprennent le fonctionnement. Or tous les élèves n’ont pas cette possibilité dans le cadre familial : l’usage des nombres et des sollicitations à leur égard dans ce domaine sont hétérogènes. Il est donc indispensable que l’école prenne en charge ces apprentissages. Cela suppose que l’enseignant puisse identifier en début d’année, les procédures que chaque élève est capable d’appréhender ou de maîtriser, pour les faire évoluer afin d’adapter les activités proposées aux possibilités des élèves.

Les types de problèmes et l’articulation avec le CP

Une fonction des problèmes est donc de permettre une évolution des procédures de résolution. Compte tenu de la variété des connaissances des élèves, et de la diversité des pratiques en GS, les apprentissages abordés par la résolution de ces problèmes en GS se poursuivent au CP. Les indications temporelles citées ci-après ont simplement pour but de permettre une prise en compte de cette diversité des connaissances au sein d’un même classe. Aussi il est possible de distinguer :
–  Des problèmes établissant une relation entre une collection (ou une position) et un nombre pour, par exemple, quantifier une collection ou constituer une collection ayant un nombre donné d’objets. Ils permettent aux élèves d’exprimer avec des nombres des actions sur des objets ; ils visent à étendre les procédures de dénombrement ou pour des élèves qui en seraient démunis à les installer et les stabiliser. Ils peuvent être proposés au premier trimestre de GS et en septembre au CP.
–  Des problèmes qui font intervenir deux nombres, par exemple pour comparer le nombre d’objets de deux collections ou constituer une collection ayant le même nombre d’objets qu’une autre. Ils supposent que les collections à comparer ou à constituer ne soient pas présentes simultanément sous les yeux des élèves, afin qu’ils aient recours à des informations numériques. Ils peuvent être proposés au deuxième trimestre de la GS et en octobre au CP.
–  Des problèmes où à partir de deux nombres l’élève cherche à en produire un troisième. Ce sont des problèmes « additifs » de quantification de la réunion de deux ou plusieurs collections, ou de l’écart entre deux positions, ou de quantification d’une collection après un ajout ou un retrait, ou de déplacement sur une piste ainsi que des problèmes de partage. Dans chacun de ces problèmes les élèves ont à anticiper le résultat d’une action qu’ils n’ont pas la possibilité d’effectuer sur des objets. La résolution de ces problèmes est, dans le cadre de cette évolution, accessible au cours du troisième trimestre de GS et au cours du premier trimestre du CP. Au CP ces problèmes pourront ensuite porter uniquement sur des nombres et lorsque la connaissance de la numération écrite permettra aux élèves de calculer sur les dizaines, la technique écrite de l’addition pourra être abordée.
L’écrit acquiert au CP un statut nouveau : les nombres ne sont plus seulement un moyen pour représenter une quantité, mais leur écriture devient le support symbolique sur lequel l’enfant va opérer. La connaissance que les élèves ont des nombres ayant évolué entre la GS et le CP, pour un même type de problème proposé au CP les énoncés sont progressivement décontextualisés et avec des valeurs numériques plus grandes.

Le travail de l’enseignant

L’enseignant peut être exposé à plusieurs risques dans l’accompagnement des élèves aux connaissances les plus fragiles, ne serait-ce que pour assurer une réussite à la tâche proposée : simplifier (par exemple donner du matériel dans un problème ou l’élève doit anticiper avec des nombres), ou suggérer des indications sur la procédure, là même où son intention peut être à l’opposé : permettre à l’élève de prendre confiance dans ses capacités. Nous avons expérimenté une variété de pistes de différenciation, en premier le fait, souvent évoqué ici, d’accepter une diversité de procédures ou d’adapter les valeurs numériques tout en s’assurant que l’élève à la responsabilité d’élaborer une procédure et la possibilité de contrôler sa production.

Jacques Douaire

Ci-dessous en pièce jointe une version au format Word, à la mise en page plus élaborée, de cette intervention

Sur le site OZP

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